第138章 不见山巔
“首先，我们需要一个空间。传统的数论研究是在整数轴上进行的，但整数轴太简单，承载不了素数的全部结构。我们需要一个高维空间，能同时编码素数的乘性信息和加性信息。”
他点开下一张ppt，上面是一个示意图：一个巨大的圆环，上面標记著无数个小点。
“这个空间叫做顾—辛特徵空间，记作x。它的构造灵感来自阿德尔环，但经过了辛几何的改造。”
然后，肖宿开始解释x的构造方法。
如何把每个素数p对应的p进数域组合起来，如何定义嵌入映射φ，如何赋予拓扑结构。
“接下来是关键的一步，”肖宿说，“我们需要在这个空间上定义一个度量，使得孪生素数对在这个度量下距离相等。”
他点开下一张ppt，上面是一个公式：
关联距离p(m,n) = 对每个不整除(m—n)的素数p求和w(p) + 如果2整除(m—n)则加上w(2)
其中权重w(p) = —log(1 1/(p—1)2) 对於p＞2
“这个权重的选择不是隨意的。哈代—李特尔伍德第二猜想给出了孪生素数对的渐近公式，其中的常数c就是n_{p＞2}(1—1/(p—1)2)。而我们这个权重的和，恰好等於 —log c。”
台下，陶哲轩眼睛一亮。
他明白了，肖宿把这个常数嵌进了度量里，让孪生素数对在这个度量下自动取相同的值。
“所以，”肖宿继续说，“对於孪生素数对(p, p+2)，它们的关联距离p是常数。对於非孪生素数对，p会不同。”
他顿了顿，看向台下：“也就是说，孪生素数对就是那些在x中距离为常数的特殊点对。”
这句话说得很轻，但在台下引起了不小的骚动。
“他把问题转化成了几何问题，”舒尔茨低声对旁边的法尔廷斯说，“在x中寻找距离相等的点对。”
法尔廷斯点点头，没说话，但眼神很专注。
肖宿开始引入辛结构，如何在x上定义一个辛形式Ω，如何证明平移变换是辛同胚，如何构造对合变换。
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然后他讲到了那个核心概念，也就是旋转守恆量。
“在顾—辛理论中，任何辛流形都有一个旋转守恆量，类似於物理中的角动量。对於x来说，这个守恆量可以通过配分函数来计算。”
他点开一张ppt，上面是一个简单的文字描述：
配分函数z(n) = 对所有不超过n的素数p求和 e^{—p(p, p+2)}
旋转守恆量q = lim_{n→∞} (log z(n) log n)
“计算这个极限，需要用到素数定理和一些解析数论的工具，”肖宿说，“但最终的结果很简单：q = log c，其中c就是孪生素数常数，约等於1.32。”
台下，塞尔点了点头。
这个推导他刚才在德利涅给的笔记里已经看过，每一步都站得住脚。
“如果只有有限个孪生素数对，那么当n足够大时，z(n)中不再有新项加入，求和趋於常数。於是log z(n)趋於常数，而log n趋於无穷，所以q = —∞。”
“但另一方面，我们从素数分布的全局性质算出q = log c，这是一个有限的正数。”
“矛盾。”
“因此，假设不成立。孪生素数对必须有无穷多。”
肖宿讲完了，按流程到了提问环节。
但是三百人的报告厅里鸦雀无声。
没有人举手提问。
不是不想问，而是太多的问题涌上心头，反而不知道该从何问起。
那种感觉，就像站在一座大山脚下，仰头望去，只见云雾繚绕，不见山巔。
所有人都还在处理刚才接收到的信息的阶段，还在试图理解这个论证的含义。
沉默良久，德利涅动了。
他从座位上站起来，转过身，面对台下所有人，说了一句话：
“这是一个独特的，无与伦比的证明方法。”
声音不大，但每个人都听清了。
瞬间，报告厅里爆发出阵阵热烈的掌声。
有人在吹口哨，有人在喊“bravo”，甚至有人在用力地跺脚。
塞尔也站了起来，加入鼓掌。
舒尔茨也站了起来，法尔廷斯也站了起来，陶哲轩也站了起来，高尔斯也站了起来，哈里斯也站了起来……
第一排七个数学巨匠，全部起立。
然后是第二排，第三排，整个报告厅，三百多人，全部起立。
掌声如雷，持续了一分钟，两分钟，三分钟……没有人停下。
肖宿站在讲台上，看著台下起立的人群，看著那些数学界的传奇向他鼓掌，看著顾清尘眼中闪烁的泪光，看著后排年轻学生们狂热的表情。
谁也不知道他在想什么。
掌声终於慢慢平息下来。
德利涅走上讲台，示意大家安静。
然后他转向肖宿，用那种略带沙哑的声音说：
“肖，我能问一个问题吗？”
肖宿点头。
“你在定义关联距离的时候，权重w(p)的选取是关键。为什么偏偏是—log(1—1/(p—1)2)？这个形式看起来很自然，但你是怎么想到的？”
肖宿想了想，说：“因为需要求和收敛，又需要和哈代—李特尔伍德常数联繫起来，这是最合適的。”
“你为什么觉得他是最合適的呢？”德利涅追问。
“这很简单就能联想到。”
德利涅沉默了一下，然后笑了：“哈，相信我，肖，很多人一辈子都想不出一个。你拥有无与伦比的天赋和直觉。”
台下又响起一阵笑声和掌声。
望月新一也苦笑的鼓起了掌，这个孩子的天赋和直觉，没人比他更加印象深刻了。
舒尔茨举手提问：“我想问一下关於辛形式Ω的构造。你用的权重λ_p = 1/(p (log p)2)，这个选择是为了让级数收敛。但有没有其他可能的权重，也会得到相同的结论？”
肖宿点头：“有。只要权重衰减得足够快，並且保证平移变换是辛同胚，具体的数值不影响最后的结果。这个权重最简单。”
正如爱因斯坦说过的：“美，本质上终究是简单性。”
在肖宿看来，数学的力量在於用最精炼的语言揭示最普適的规律，在选择的过程当中他会自然而然的选择最简单的那个形式。
这也正是无数数学家毕生追求的境界。
“简单。”舒尔茨重复了一遍这个词，然后对旁边的法尔廷斯说，“无与伦比。”
法尔廷斯难得地露出了一丝笑容：“genau.”
他点开下一张ppt，上面是一个示意图：一个巨大的圆环，上面標记著无数个小点。
“这个空间叫做顾—辛特徵空间，记作x。它的构造灵感来自阿德尔环，但经过了辛几何的改造。”
然后，肖宿开始解释x的构造方法。
如何把每个素数p对应的p进数域组合起来，如何定义嵌入映射φ，如何赋予拓扑结构。
“接下来是关键的一步，”肖宿说，“我们需要在这个空间上定义一个度量，使得孪生素数对在这个度量下距离相等。”
他点开下一张ppt，上面是一个公式：
关联距离p(m,n) = 对每个不整除(m—n)的素数p求和w(p) + 如果2整除(m—n)则加上w(2)
其中权重w(p) = —log(1 1/(p—1)2) 对於p＞2
“这个权重的选择不是隨意的。哈代—李特尔伍德第二猜想给出了孪生素数对的渐近公式，其中的常数c就是n_{p＞2}(1—1/(p—1)2)。而我们这个权重的和，恰好等於 —log c。”
台下，陶哲轩眼睛一亮。
他明白了，肖宿把这个常数嵌进了度量里，让孪生素数对在这个度量下自动取相同的值。
“所以，”肖宿继续说，“对於孪生素数对(p, p+2)，它们的关联距离p是常数。对於非孪生素数对，p会不同。”
他顿了顿，看向台下：“也就是说，孪生素数对就是那些在x中距离为常数的特殊点对。”
这句话说得很轻，但在台下引起了不小的骚动。
“他把问题转化成了几何问题，”舒尔茨低声对旁边的法尔廷斯说，“在x中寻找距离相等的点对。”
法尔廷斯点点头，没说话，但眼神很专注。
肖宿开始引入辛结构，如何在x上定义一个辛形式Ω，如何证明平移变换是辛同胚，如何构造对合变换。
101看书 101 看书网藏书广，101??????.??????任你读 全手打无错站
然后他讲到了那个核心概念，也就是旋转守恆量。
“在顾—辛理论中，任何辛流形都有一个旋转守恆量，类似於物理中的角动量。对於x来说，这个守恆量可以通过配分函数来计算。”
他点开一张ppt，上面是一个简单的文字描述：
配分函数z(n) = 对所有不超过n的素数p求和 e^{—p(p, p+2)}
旋转守恆量q = lim_{n→∞} (log z(n) log n)
“计算这个极限，需要用到素数定理和一些解析数论的工具，”肖宿说，“但最终的结果很简单：q = log c，其中c就是孪生素数常数，约等於1.32。”
台下，塞尔点了点头。
这个推导他刚才在德利涅给的笔记里已经看过，每一步都站得住脚。
“如果只有有限个孪生素数对，那么当n足够大时，z(n)中不再有新项加入，求和趋於常数。於是log z(n)趋於常数，而log n趋於无穷，所以q = —∞。”
“但另一方面，我们从素数分布的全局性质算出q = log c，这是一个有限的正数。”
“矛盾。”
“因此，假设不成立。孪生素数对必须有无穷多。”
肖宿讲完了，按流程到了提问环节。
但是三百人的报告厅里鸦雀无声。
没有人举手提问。
不是不想问，而是太多的问题涌上心头，反而不知道该从何问起。
那种感觉，就像站在一座大山脚下，仰头望去，只见云雾繚绕，不见山巔。
所有人都还在处理刚才接收到的信息的阶段，还在试图理解这个论证的含义。
沉默良久，德利涅动了。
他从座位上站起来，转过身，面对台下所有人，说了一句话：
“这是一个独特的，无与伦比的证明方法。”
声音不大，但每个人都听清了。
瞬间，报告厅里爆发出阵阵热烈的掌声。
有人在吹口哨，有人在喊“bravo”，甚至有人在用力地跺脚。
塞尔也站了起来，加入鼓掌。
舒尔茨也站了起来，法尔廷斯也站了起来，陶哲轩也站了起来，高尔斯也站了起来，哈里斯也站了起来……
第一排七个数学巨匠，全部起立。
然后是第二排，第三排，整个报告厅，三百多人，全部起立。
掌声如雷，持续了一分钟，两分钟，三分钟……没有人停下。
肖宿站在讲台上，看著台下起立的人群，看著那些数学界的传奇向他鼓掌，看著顾清尘眼中闪烁的泪光，看著后排年轻学生们狂热的表情。
谁也不知道他在想什么。
掌声终於慢慢平息下来。
德利涅走上讲台，示意大家安静。
然后他转向肖宿，用那种略带沙哑的声音说：
“肖，我能问一个问题吗？”
肖宿点头。
“你在定义关联距离的时候，权重w(p)的选取是关键。为什么偏偏是—log(1—1/(p—1)2)？这个形式看起来很自然，但你是怎么想到的？”
肖宿想了想，说：“因为需要求和收敛，又需要和哈代—李特尔伍德常数联繫起来，这是最合適的。”
“你为什么觉得他是最合適的呢？”德利涅追问。
“这很简单就能联想到。”
德利涅沉默了一下，然后笑了：“哈，相信我，肖，很多人一辈子都想不出一个。你拥有无与伦比的天赋和直觉。”
台下又响起一阵笑声和掌声。
望月新一也苦笑的鼓起了掌，这个孩子的天赋和直觉，没人比他更加印象深刻了。
舒尔茨举手提问：“我想问一下关於辛形式Ω的构造。你用的权重λ_p = 1/(p (log p)2)，这个选择是为了让级数收敛。但有没有其他可能的权重，也会得到相同的结论？”
肖宿点头：“有。只要权重衰减得足够快，並且保证平移变换是辛同胚，具体的数值不影响最后的结果。这个权重最简单。”
正如爱因斯坦说过的：“美，本质上终究是简单性。”
在肖宿看来，数学的力量在於用最精炼的语言揭示最普適的规律，在选择的过程当中他会自然而然的选择最简单的那个形式。
这也正是无数数学家毕生追求的境界。
“简单。”舒尔茨重复了一遍这个词，然后对旁边的法尔廷斯说，“无与伦比。”
法尔廷斯难得地露出了一丝笑容：“genau.”